Soal UN Matematika SMA IPA 2005
Hasil dari \( \int 3x \cos 2x \ dx = \cdots \ ? \)
- \( 3x \sin 2x + 3 \cos 2x + C \)
- \( 3x \sin 2x + \cos 2x + C \)
- \( -\frac{3}{2}x \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
- \( \frac{3}{2}x \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
- \( \frac{3}{2}x \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
Pembahasan:
Soal integral ini bisa diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Misalkan \( u = 3x \) dan \( dv = \cos 2x \ dx \) sehingga diperoleh berikut ini:
\begin{aligned} u = 3x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3 \Leftrightarrow du = 3 \ dx \\[8pt] dv = \cos 2x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos 2x \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{2}\sin 2x \\[8pt] \int 3x \cos 2x \ dx &= \int u \ dv = uv-\int v \ du \\[8pt] &= 3x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot 3 \ dx \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x-\frac{3}{2} \int \sin 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x-\frac{3}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) + C \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x + C \end{aligned}
Jawaban D.